헤론의 공식
밑변과 높이를 모르고 세 변의 길이만 알 때는 헤론의 공식으로 넓이를 구합니다. 세 변을 a, b, c라 하고 반둘레를 s라 하면 다음과 같습니다.
s = (a + b + c) ÷ 2
넓이 = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
세 변이 5, 6, 7이면 s = 9이고 넓이는 √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.6969입니다. 밑변과 높이를 안다면 밑변 × 높이 ÷ 2, 두 변과 끼인각 θ를 안다면 ½ × a × b × sin θ로도 구할 수 있습니다.
계산 예시
| 세 변 | s | s(s−a)(s−b)(s−c) | 넓이 |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 6 × 3 × 2 × 1 = 36 | 6 (직각삼각형) |
| 5, 5, 6 | 8 | 8 × 3 × 3 × 2 = 144 | 12 |
| 5, 6, 7 | 9 | 9 × 4 × 3 × 2 = 216 | 약 14.6969 |
| 7, 8, 9 | 12 | 12 × 5 × 4 × 3 = 720 | 약 26.8328 |
| 6, 6, 6 | 9 | 9 × 3 × 3 × 3 = 243 | 약 15.5885 |
3, 4, 5 삼각형은 밑변 4, 높이 3인 직각삼각형이라 4 × 3 ÷ 2 = 6으로도 같은 값이 나옵니다. 정삼각형은 한 변 a에 대해 (√3 ÷ 4) × a²이므로 한 변 6이면 약 15.5885입니다.
세 각 구하기: 코사인 법칙
변 a의 맞은편 각 A는 cos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc로 구합니다. 5, 6, 7 삼각형에서 가장 긴 변 7의 맞은편 각은 cos C = (25 + 36 − 49) ÷ 60 = 0.2이므로 약 78.4630°입니다. 가장 큰 각이 90°보다 작으면 예각삼각형, 같으면 직각삼각형, 크면 둔각삼각형입니다. 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변 제곱의 합과 같으면 직각삼각형(피타고라스 정리)입니다.
삼각형이 될 조건
가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작아야 삼각형이 만들어집니다. 1, 2, 3처럼 같으면 세 점이 일직선에 놓여 넓이가 0이 되고, 1, 2, 4처럼 크면 아예 닫히지 않습니다. 이 계산기는 조건을 먼저 확인하고 맞지 않으면 안내합니다.
활용과 주의할 점
- 땅이나 방 바닥이 삼각형·다각형이면 대각선으로 나눠 삼각형 여러 개의 넓이를 더하면 됩니다. 줄자로 변의 길이만 재면 되므로 각도기가 필요 없습니다.
- 길이 단위가 m이면 넓이 단위는 ㎡입니다. 평으로 바꾸려면 평수 계산기를 쓰세요.
- 아주 납작한 삼각형은 계산 오차가 커질 수 있으니 소수점 아래는 반올림해서 읽으세요.
이렇게 활용하세요
모양이 일정하지 않은 땅이나 텃밭은 꼭짓점 사이 대각선을 그어 삼각형으로 나누고 각 변의 길이를 줄자로 잰 뒤, 삼각형마다 넓이를 구해 더하면 됩니다.
자주 묻는 질문
헤론의 공식은 직각삼각형에도 쓸 수 있나요?
모든 삼각형에 쓸 수 있습니다. 직각삼각형은 두 짧은 변을 곱해 2로 나눈 값과 똑같이 나옵니다.
두 변과 끼인각으로 넓이를 구하려면?
½ × a × b × sin θ입니다. 두 변이 6, 8이고 끼인각이 30°면 ½ × 6 × 8 × 0.5 = 12입니다.
세 변이 1, 2, 3이면 왜 계산이 안 되나요?
가장 긴 변 3이 나머지 두 변의 합 3과 같아 세 점이 일직선 위에 놓이므로 삼각형이 만들어지지 않습니다.
계산식과 설명은 2026년 10월 기준입니다.
