거듭제곱과 거듭제곱근
거듭제곱 xⁿ은 x를 n번 곱한 값입니다. 2¹⁰ = 1,024처럼 지수가 자연수면 단순 곱셈이고, 지수가 0이면 1(x ≠ 0), 음수면 역수(10⁻² = 1/100 = 0.01), 분수면 거듭제곱근(8^(1/3) = 2)이 됩니다. 제곱근 √x는 제곱해서 x가 되는 양수, 세제곱근 ∛x는 세제곱해서 x가 되는 수입니다.
x⁰ = 1, x⁻ⁿ = 1 ÷ xⁿ, x^(m/n) = (ⁿ√x)ᵐ
xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ, (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ
계산 예시
| 식 | 값 | 설명 |
|---|---|---|
| 2¹⁰ | 1,024 | 2를 10번 곱함 |
| 10⁻² | 0.01 | 1 ÷ 10² |
| 27^(2/3) | 9 | (∛27)² = 3² |
| √72 | 6√2 ≈ 8.485281 | 72 = 36 × 2 |
| √50 | 5√2 ≈ 7.071068 | 50 = 25 × 2 |
| √48 | 4√3 ≈ 6.928203 | 48 = 16 × 3 |
| ∛(−8) | −2 | (−2)³ = −8 |
근호를 간단히 하는 방법
근호 안의 수에서 가장 큰 제곱수 인수를 찾아 밖으로 꺼냅니다. 72 = 2³ × 3² = 6² × 2이므로 √72 = 6√2입니다. 제곱수 인수가 없으면(예: √30) 더 간단히 할 수 없습니다. 이 계산기는 1조 이하 자연수에 대해 자동으로 정리합니다. 소인수를 직접 보고 싶다면 소인수분해 계산기를 이용하세요.
자주 쓰는 제곱근 근삿값
√2 ≈ 1.414214, √3 ≈ 1.732051, √5 ≈ 2.236068, √10 ≈ 3.162278. A4 용지의 가로·세로 비율이 1 : √2인 것처럼 생활에서도 자주 등장합니다. 정사각형의 대각선은 한 변 × √2, 정삼각형의 높이는 한 변 × √3 ÷ 2입니다.
주의할 점
- 음수의 제곱근은 실수 범위에 없습니다. √(−4) = 2i처럼 허수로 표시합니다. 반면 음수의 세제곱근은 실수입니다.
- 음수 밑에 0.5 같은 소수 지수를 쓰면 실수 범위에서 정의되지 않아 "계산 불가"로 표시합니다.
- 결과는 소수점 아래 최대 10자리까지 보여 주는 근삿값입니다. 무리수는 끝없이 이어지므로 정확한 값은 근호 형태로 남겨 두는 것이 좋습니다.
이렇게 활용하세요
정사각형 밭의 넓이가 50㎡일 때 한 변의 길이는 √50 ≈ 7.07m입니다. 모니터 화면 비율 16 : 9에서 대각선 길이를 구할 때도 √(16² + 9²) = √337 ≈ 18.36처럼 제곱근을 씁니다. 연평균 성장률은 (나중 값 ÷ 처음 값)^(1/기간) − 1로 구하는데, 5년 동안 매출이 2배가 되었다면 x = 2, n = 5를 넣어 n제곱근 1.1487을 얻고 연평균 약 14.87% 성장으로 읽으면 됩니다.
자주 묻는 질문
0의 0제곱은 얼마인가요?
수학적으로 정의하지 않는 경우가 많지만, 대부분의 프로그래밍 언어와 이 계산기는 관례에 따라 1로 계산합니다.
제곱근과 루트는 같은 말인가요?
루트(root)는 근호 기호 √를 부르는 말입니다. '루트 2'는 2의 양의 제곱근 √2를 뜻합니다.
√(a + b)는 √a + √b와 같나요?
아닙니다. √(9 + 16) = √25 = 5이지만 √9 + √16 = 3 + 4 = 7입니다. 곱셈은 √(ab) = √a × √b가 성립합니다(a, b ≥ 0).
계산식과 설명은 2026년 10월 기준입니다.
