등비수열 합 계산기

등비수열이란

등비수열은 이웃한 항의 비가 일정한 수열입니다. 2, 6, 18, 54, …처럼 매번 3배가 되면 첫째항 a₁ = 2, 공비 r = 3입니다. 공비가 0과 1 사이면 점점 작아지고, 음수면 부호가 번갈아 바뀝니다.

일반항과 합 공식

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
Sₙ = a₁(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) (r ≠ 1)
Sₙ = n × a₁ (r = 1)
무한등비급수 S = a₁ ÷ (1 − r) (|r| < 1)

합 공식은 Sₙ에 r을 곱한 rSₙ과 원래 Sₙ을 빼면 가운데 항이 모두 지워져 rSₙ − Sₙ = a₁rⁿ − a₁만 남는 데서 나옵니다. 공비가 1보다 작으면 rⁿ − 1 대신 1 − rⁿ을 써서 a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)로 적어도 같은 값입니다.

계산 예시

첫 줄을 풀어 보면 a₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486이고, S₆ = 2 × (3⁶ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × 728 ÷ 2 = 728입니다. 마지막 줄은 3 − 6 + 12 − 24 + 48 = 33입니다.

생활 속 등비수열

• 복리: 원금 P를 연 이율 i로 n년 맡기면 P(1 + i)ⁿ이 됩니다. 매년 같은 금액을 복리로 쌓는 적립식 저축의 만기 금액은 등비수열의 합 공식으로 구합니다.
• 체스판의 쌀알: 첫 칸 1알, 다음 칸 2배씩 64칸을 채우면 2⁶⁴ − 1 = 18,446,744,073,709,551,615알입니다. 등비수열이 얼마나 빠르게 커지는지 보여 주는 유명한 예입니다.
• 반감기: 절반씩 줄어드는 양은 공비 0.5인 등비수열입니다.

주의할 점

• 무한등비급수는 |r| < 1일 때만 일정한 값으로 수렴합니다. r = 1이거나 |r| > 1이면 합이 한없이 커지거나 진동합니다.
• 공비가 크고 항의 개수가 많으면 값이 매우 커져 컴퓨터가 정확히 표현하지 못합니다. 대략 10¹⁵을 넘는 수는 마지막 자리가 근사값입니다.
• 공비가 음수이고 n이 소수인 경우는 정의되지 않으므로 n은 자연수로 넣어야 합니다.

이렇게 활용하세요

매년 7%씩 성장하는 매출이 10년 뒤 몇 배가 되는지는 a₁ = 1, r = 1.07, n = 11로 넣고 11번째 항을 보면 약 1.967배입니다. 이른바 "72의 법칙"(72 ÷ 성장률 ≈ 두 배가 되는 기간)과 비교해 보면 72 ÷ 7 ≈ 10.3년으로 거의 맞습니다. 공비가 1에 가까울수록 처음에는 등차수열과 비슷해 보이지만 기간이 길어질수록 차이가 크게 벌어집니다.

자주 묻는 질문

계산식과 설명은 2026년 10월 기준입니다.