등차수열이란
등차수열은 이웃한 두 항의 차가 일정한 수열입니다. 3, 7, 11, 15, …처럼 매번 4씩 커지면 첫째항 a₁ = 3, 공차 d = 4인 등차수열입니다. 공차가 음수이면 점점 작아지는 수열이 됩니다.
일반항과 합 공식
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = n{2a₁ + (n − 1)d} ÷ 2
합 공식은 첫째항과 마지막 항을 짝지어 더하는 아이디어에서 나옵니다. 1부터 100까지 더할 때 1 + 100, 2 + 99, …처럼 짝을 지으면 합이 101인 쌍이 50개 생겨 5,050이 됩니다. 수열을 거꾸로 한 번 더 써서 더하면 (a₁ + aₙ)가 n번 나오고, 같은 수열을 두 번 더한 것이므로 2로 나눕니다.
계산 예시
| 수열 | a₁, d, n | aₙ | Sₙ |
|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, … | 1, 1, 100 | 100 | 5,050 |
| 3, 7, 11, … | 3, 4, 10 | 39 | 210 |
| 2, 5, 8, … | 2, 3, 20 | 59 | 610 |
| 100, 95, 90, … | 100, −5, 15 | 30 | 975 |
예를 들어 2, 5, 8, …의 20번째 항은 2 + 19 × 3 = 59이고, 합은 20 × (2 + 59) ÷ 2 = 610입니다.
생활 속 등차수열
- 매달 저금액을 1만 원씩 늘려 가는 계획(1만, 2만, 3만 원 …)의 1년 합계는 12 × (1 + 12) ÷ 2 = 78만 원입니다.
- 적금의 단리 이자도 등차수열입니다. 첫 달에 넣은 돈은 12개월, 마지막 달에 넣은 돈은 1개월 이자를 받으므로 이자 합계가 등차수열의 합이 됩니다. 자세한 계산은 적금·예금 이자 계산기에서 볼 수 있습니다.
- 계단식으로 일정하게 줄어드는 감가상각(정액법)도 같은 구조입니다.
주의할 점
- 항의 개수 n은 1 이상의 자연수여야 합니다. 소수점을 넣으면 정수 부분만 씁니다.
- 마지막 항(aₙ)과 공차를 알고 항의 개수를 구하려면 n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1로 먼저 계산하세요. 결과가 자연수가 아니면 그 수는 수열에 들어 있지 않습니다.
- 매우 큰 수는 컴퓨터의 부동소수점 한계 때문에 마지막 자리 몇 개가 정확하지 않을 수 있습니다.
이렇게 활용하세요
계단 수, 좌석 배치처럼 일정하게 늘어나는 수를 셀 때 편합니다. 예를 들어 첫 줄에 20석, 뒤로 갈수록 2석씩 늘어나는 극장이 15줄이라면 a₁ = 20, d = 2, n = 15를 넣어 마지막 줄 48석, 전체 510석을 바로 구할 수 있습니다. 수학 문제에서 "몇 번째 항이 처음으로 100을 넘는가"를 물으면 aₙ > 100인 부등식을 세워 n을 구한 뒤 계산기로 그 앞뒤 항을 확인해 보세요.
자주 묻는 질문
공차가 0이면 어떻게 되나요?
모든 항이 같은 상수수열이 됩니다. 합은 첫째항 × 항의 개수입니다.
1부터 n까지의 합 공식은 무엇인가요?
첫째항 1, 공차 1인 등차수열이므로 n(n + 1) ÷ 2입니다. n = 100이면 5,050입니다.
홀수의 합이 제곱수가 되는 이유는?
1, 3, 5, …는 첫째항 1, 공차 2인 등차수열이라 n번째 항이 2n − 1이고, 합은 n(1 + 2n − 1) ÷ 2 = n²이 됩니다.
계산식과 설명은 2026년 10월 기준입니다.
